请问一个质量为M,半径为R的均质球体的重力结合能怎么算?
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问题描述：
请问一个质量为M,半径为R的均质球体的重力结合能怎么算?
卢益玲回答：
我们由外向内依次将半径在r~r+dr内的球壳膨胀到无穷远处,计算需要的总能量就好了.
如果已经计算过r+dr~R部分的能量,那么意味着这部分已经飘向无穷远.现在只需要将r~r+dr与0~r两部分分离即可算出这部分的能量.
设0~r部分质量为m1(r),r+dr部分在方位角O~O+dO范围内的质量为m2(r,dr,O,dO),显然两者质心相距r,现在将m2移动到距球心D处,万有引力为：F=-G*m1*m2/D（G为万有引力常数）.从r移动到“无穷远”万有引力做负功：W(r,m1,m2)=∫[D,无穷]FdD=-G*m1*m2/r.
将m1=M*(r/R)^3,m2=[(3Mr^2)/(4*pi*R^3)]drdO带入得到W(r,dr,dO)=[-(3GM^2r^4)/(4*pi*R^6)]drdO.
将球壳一层层全部膨胀到无穷远处万有引力做功之和（负功）为：W=∫[0,R]drdO[-(3GM^2r^4)/(4*pi*R^6)]=[-(3G*M^2)/(5R)].
所以克服万有引力需要的能量为（正）：E=+(3G*M^2)/(5R),这就是结合能.
特别地,如果这是地球,那么地表的重力加速度g=GM/R^2,此时E=3gMR/5（仅当此球为地球的情况下成立）.
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