求问一道散度的数学题！如果f=f(x,y,z)是光滑函数（无穷可导的函数）证明∇×(∇f)=01.如果f=f(x,y,z)是光滑函数（smoothfunction，无穷可导的函数），证明∇×(∇f)=02.如
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问题描述：
求问一道散度的数学题！如果f=f(x,y,z)是光滑函数（无穷可导的函数）证明∇×(∇f)=0
1.如果f=f(x,y,z)是光滑函数（smoothfunction，无穷可导的函数），证明∇×(∇f)=0
2.如果F=F(x,y,z)是光滑向量场（smoothvectorfield),证明∇·(∇×F)=0
3.令F为一个smoothvectorfield，令φ为一个光滑函数（smoothfunction），证明
∇×(φF)=φ(∇×F)+(∇φ)×F.【φ(x,y,z)为标量函数（scalarfunction）并且F=(F1,F2,F3)为一个向量场（vectorfield）,φF是一个向量场（vectorfield）φF=(φF1,φF2,φF3)。】
汪一彭回答：
标量场的梯度：∇f={df/dx,df/dy,df/dz}，
向量场的旋度：∇×F={dF_3/dy-dF_2/dz,dF_1/dz-dF_3/dx,dF_2/dx-dF_1/dy}
（我找不到专用符号，这里的d表示偏导数。）
利用光滑函数的混合偏导数可以交换次序：d^2f/dxdy=d^f/dydx.
1.∇×(∇f)=∇×{df/dx,df/dy,df/dz}
={d(df/dz)/dy-d(df/dy)/dz,d(df/dx)/dz-d(df/dz)/dx,d(df/dy)/dx-d(df/dx)/dy}
={d^2f/dzdy-d^2f/dydz,d^2f/dxdz-d^2f/dzdx,d^2f/dydx-d^2f/dxdy}={0,0,0}
2.向量场的散度是个数。
∇·(∇×F)=(d/dx)（dF_3/dy-dF_2/dz）+(d/dy)(dF_1/dz-dF_3/dx),(d/dz)(dF_2/dx-dF_1/dy)
=d^2F_3/dydx-d^2F_2/dzdx+d^2F_1/dzdy-d^2F_3/dxdy+d^2F_2/dxdz-d^2F_1/dydz=0
3.∇×(φF)={d(φF_3)/dy-d(φF_2)/dz,d(φF_1)/dz-d(φF_3)/dx,d(φF_2)/dx-d(φF_1)/dy}
=φ{dF_3/dy-dF_2/dz,dF_1/dz-dF_3/dx,dF_2/dx-dF_1/dy}
+{F_3(dφ/dy)-F_2(dφ/dz),F_1(dφ/dz)-F_3(dφ/dx),F_2(dφ/dx)-F_1(dφ/dy)}
=φ(∇×F)+(∇φ)×F
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