数学三角函数题（数学归纳法）求证：cosnx（n是正整数）都可以表示为仅含cosx的整次幂的多项式.例如cos2x=2（cosx）^2-1,cos3x=4(cosx)^3-3cosx……
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问题描述：
数学三角函数题（数学归纳法）
求证：cosnx（n是正整数）都可以表示为仅含cosx的整次幂的多项式.
例如cos2x=2（cosx）^2-1,cos3x=4(cosx)^3-3cosx……
刘翀回答：
cos2x=2(cosx)^2-1,cos3x=cos(x+2x)=cosxcos2s-sinxsin2x=cosx[2(cosx)^2-1]-sinx(2sinxcosx)=cosx[2(cosx)^2-1]-2cosx(1-(cosx)^2)=4(cosx)^3-3cosx,cos4x=2(cos2x)^2-1=8(cosx)^4-8(cosx)^2+1,故n=1,2,3,4时求证成立
设cos(n-1),cosnx都可以表示为仅含cosx的整次幂的多项式
则cos(n+1)x=cosxcosnx-sinxsinnx=cosxcosnx-sinx[sin(n-1)xcosx+cos(n-1)sinx]=cosxcosnx-sinxsin(n-1)xcosx-cos(n-1)(1-(cosx)^2)=cosxcosnx-sinxsin(n-1)xcosx-cos(n-1)+cos(n-1)(cosx)^2=cosxcosnx-cos(n-1)-[sinxsin(n-1)x-cos(n-1)(cosx)]cosx=2cosxcosnx-cos(n-1)
因为cos(n-1),cosnx都可以表示为仅含cosx的整次幂的多项式,cos(n+1)x可以表示为仅含cosx的整次幂的多项式,得证.
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