【已知椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),AB是它的一条弦,M(2,1)是弦AB的中点,若以M(2,1）为焦点,椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N（4,-1）,且椭圆的离心率e与双曲线离心率之间满足e*e1=1,】
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问题描述：
已知椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),AB是它的一条弦,M(2,1)是弦AB的中点,若以M(2,1）为焦点,椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N（4,-1）,且椭圆的离心率e与双曲线离心率之间满足e*e1=1,求：
（1）、椭圆的离心率
（2）、双曲线C的方程
慈元卓回答：
已知椭圆E的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,AB是它的一条弦,M（2,1）是弦AB的中点.若以M（2,1）为焦点、椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N（4,1）,且椭圆的离心率e与双曲线的离心率ee1之间有ee1=1.求（1）椭圆E的离心率e；（2）双曲线c的方程.
解（1）设点A（x1,y1),B（x2,y2)
A、B在椭圆上,则有x1^2/a^2+y1^2/b^2=1,x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
相减并整理得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0（*）
M是AB中点,所以x1+x2=4,y1+y2=2
（*）式为4b^2(x1-x2)+2a^2(y1-y2)=0
kAB=(y1-y2)/(x1-x2)=-2b^2/a^2
由题意kAB=kMN=-1
所以2b^2/a^2=1,则c^2=a^2-b^2=2b^2-b^2=b^2于是e=c/a=b/(根号2b)=根号2/2
(2)、由（1）得的结果,可知椭圆右准线方程为X=a^2/c=2c,
设双曲线上任一点P（X、Y）,且P到准线X=2C的距离为d,根据圆锥曲线的统一定义得,PM/d=e1,e1=1/e=根号2
PM^2=2d^2
(x-2)^2+(y-1)^2=2(x-2c)^2
又N是双曲线上的点,把点N（4,-1）代入上式,解得C=3,所以,所求双曲线方程是(x-2)^2+(y-1)^2=2(x-6)^2,
化简得（X-10)^2-（y-1)^2=32.
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