【数列满足，，λ为非零常数(1)是否存在实数λ，使得数列成为等差数列或者成为等比数列，若存在则找出所有的λ，并求出对应的通项公式；若不存在则说明理由；(2)当λ=1时，记，证明数列是】
1人问答
问题描述：
数列满足，，λ为非零常数
(1)是否存在实数λ，使得数列成为等差数列或者成为等比数列，若存在则找出所有的λ，并求出对应的通项公式；若不存在则说明理由；
(2)当λ=1时，记，证明数列是等比数列；
(3)求数列的通项公式．____
孙继文回答：
【分析】(1)a1=2，a2=2λ+2，a3=λa2+4=2λ2+2λ+4．分两种情况讨论①数列{an}为等差数列，得λ2-λ+1=0由Δ=12-4=-3<0知方程无实根，故不存在实数λ，②若数列{an}为等比数列得(2+2λ)2=2(2λ2+2λ+4)，解得λ=1，an+1=an+2n解得an=2n，故存在实数λ=1，使得数列{an}为等比数列．
(2)λ=1时由(1)可得，，容易证明
(3)①当λ=1时，转化为等比数列求解．②当λ=2时，构造等差数列{}求解.③当λ≠1且λ≠2时，构造等比数列{}求解．
(1))a1=2，a2=2λ+2，a3=λa2+4=2λ2+2λ+4
①若数列{an}为等差数列，则，
即，
得λ2-λ+1=0.
由Δ=1-4=-3<0知方程无实根，故不存在实数λ；
②若数列{an}为等比数列，则，
即(2+2λ)2=2(2λ2+2λ+4)，解得λ=1，
则an+1=an+2n
a2=a1+2
a3=a2+4
…
an=an-1+
由累加法得：an=a_1+2+22+…+2n-1=2+2n-2
解得an=2n(n≥2)
显然，当n=1时也适合，故an=2n(n∈N*)．
故存在实数λ=1，使得数列{an}为等比数列，其通项公式为an=2n
(2)λ=1时，由(1)可得，，
∴，
∴数列{bn}是等比数列；
(3))①当λ=1时，an=2n，
由等比数列的求和公式可得，
②当λ=2时，构造等差数列{}求解.
，
且，
∴是以1为首项，为公差的等差数列，
∴；
③当λ≠1且λ≠2时，构造等比数列求解．
，且，
则是以为首项，λ为公比的等比数列，
则，
即.
【点评】本题是一道数列综合题，情景熟悉，貌似简单，入手也不难，但综合程度之高令人叹为观止．无论是分类讨论的思想，还是反证推理、求数列通项和数列求和都考查得淋漓尽致，累加法和待定系数法求数列的通项、错位相减法和分组求和法求数列的前n项和，几乎数列的所有知识和方法都熔于一炉．
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