函数的综合应用f（x）=((xlnx)+(ax^2)-x+(1-a))/x(1)当a≥1/2时f(x)的单调性(2)证明：1/(2ln2)+1/(3ln3)+1/(4ln4)+...+1/(nln(n))＞(3/2)-(2n+1)/n(n+1)
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问题描述：
函数的综合应用
f（x）=((xlnx)+(ax^2)-x+(1-a))/x
(1)当a≥1/2时f(x)的单调性
(2)证明：1/(2ln2)+1/(3ln3)+1/(4ln4)+...+1/(nln(n))＞(3/2)-(2n+1)/n(n+1)
梁德坚回答：
f(x)=lnx＋ax－1＋(1－a)/x,则f'(x)=1/x＋a＋(a－1)/x²,且f(x)的定义域是{x|x>0}.1、f'(x)=[ax²＋x＋(a－1)]/(x²)=[(ax＋a－1)(x＋1)]/(x²),由于a≥1/2,则：①若a≥1,则函数f(x)在定义域内单调...
梁德坚回答：
是的，是我弄错了。现更正如下：设g(x)=2lnx－x＋1/x，则g'(x)=2/x－1－1/x²=－(1/x)²＋2(1/x)－1=－(1/x－1)²≤0，即函数g(x)在定义域内单调递减，则当x>1时，恒有g(x)=2lnx－x＋1/x1/(x－1)－1/(x＋1)】其中x>1。分别取x=2，3，4，…，n，则得到：1/2ln2>1/1－1/31/3ln3>1/2－1/41/4ln4>1/3－1/5 ……………1/nlnn>1/(n－1)－1/(n＋1)将上述式子累加，得：1/2ln2＋1/3ln3＋1/4ln4＋…＋1/nlnn>(1＋1/2)－1/n－1/(n＋1)=3/2－(2n＋1)/[n(n＋1)]。
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