【大学数学,采纳即追加：设x^2+px+q和x^2+rx+s都是整系数多项式,且它们有一个公根α不是整数.试证p=r,q=s】
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问题描述：
大学数学,采纳即追加：设x^2+px+q和x^2+rx+s都是整系数多项式,且它们有一个公根α不是整数.试证p=r,q=s
李建清回答：
证明：首先假如这两个整系数多项式的另外一个根也相等,显然这两个证系数多项式恒等,显然有p=r,q=s
否则,不防设x^2+px+q的根为α,β,x^2+rx+s的根伟α,γ(β不等于γ)
显然,α+β=-p,----(1)
αβ=q----(2)
α+γ=-r----(3)
αγ=s----(4)
β-γ=r-p为整数
α(β-γ)=q-s为整数
又β不等于γ=>α=(q-s)/(r-p)为有理数
显然(1)(3)可以推出β,γ也是有理数,显然对首项系数为1的二次正系数多项式假如他的根为有理数则它的必定是整数（自己证明的话也不难,假设α=m/n(,m,n为整数,且m,n)=1,n>=2,β=-p-m/n=>q=αβ=m/n*(-p-m/n)不是整数,矛盾),故与α不是整数矛盾,读反设不成立,即原命题成立
证毕!
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