试证明:唯一存在这样的三角形,它的三边长是三个连续的自然数,且有一个角是另一个角的二倍.
1人问答
问题描述：
试证明:唯一存在这样的三角形,它的三边长是三个连续的自然数,且有一个角是另一个角的二倍.
董诚回答：
设三边长分别为：a-1、a、a+1
要分以下三种情况讨论：
(1)当角A是a-1所对的角,2A是a所对的角时
正弦定理知：a/(a-1)=sin2A/sinA=2cosA
余弦定理由：2cosA=[a^2+(a+1)^2-(a-1)^2]/a(a+1)=(a+4)/(a+1)
从而有：a/(a-1)=(a+4)/(a+1),解得a=2
此时三边长分别为1、2、3,不符要求,舍去
(2)当角A是a-1所对的角,2A是a+1所对的角时
同样的有(a+1)/(a-1)=2cosA=(a+4)/(a+1),解得a=5
则此时三角形三边长是4,5,6
(3)当角A是a所对的角,2A是a+1所对的角时
则(a+1)/a=2cosA=[(a+1)^2+(a-1)^2-a^2]/(a+1)(a-1)=(a^2+2)/(a^2-1)
整理得：a^2-3a-1=0,无自然数角,舍去
综上知,存在唯一的三角形,满足.该三角形即是边长分别为4,5,6的三角形.
数学推荐
数学推荐
最新更新
精品分类
优秀数学推荐
热门数学
邮箱： 