f(x)=ax^2-2x-1(a>0)在[1,3]上最大值为M(a),最小值为N(a),设g(a)=M(a)-N(a).求g(a)表达式和最小值详细一点儿,
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问题描述：
f(x)=ax^2-2x-1(a>0)在[1,3]上最大值为M(a),最小值为N(a),设g(a)=M(a)-N(a).求g(a)表达式和最小值
详细一点儿,
石彤菊回答：
这题主要是讨论顶点的位置
f(x)=ax^2-2x-1(a>0)
f(x)=a(x-1/a)^2-1/a-1(a>0)
顶点坐标为(1/a,-1/a-1)
讨论:
(1)顶点横坐标小于1,1/a＜1,a＞1时,f(x)在[1,3]上是增函数
M(a)=f(3)=9a-7
N(a)=f(1)=a-3
g(a)=(9a-)-(7a-3)=8a-4(a＞1)
(2)顶点横坐标大于等于1小于2时,1≤1/a＜2,1/2＜a≤1时,f(x)在[1,3]上,顶点是最小值,f(3)是最大值
M(a)=f(3)=9a-7
N(a)=f(1/a)=-1/a-1
g(a)=(9a-7)-(-1/a-1)=9a+1/a-6(1/2＜a≤1)
(3)顶点横坐标大于2小于等于3时,2＜1/a≤3,1/3≤a＜1/2时,f(x)在[1,3]上,顶点是最小值,f(1)是最大值
M(a)=f(1)=a-3
N(a)=f(1/a)=-1/a-1
g(a)=(a-3)-(-1/a-1)=a+1/a-2(1/3≤a＜1/2)
(4)顶点横坐标大于3,1/a＞3,a＜1/3时,f(x)在[1,3]上是减函数
M(a)=f(1)=a-3
N(a)=f(3)=9a-7
g(a)=(a-3)-(9a-7)=4-8a(0＜a＜1/3)
结论:
g(a)=8a-4(a＞1)
g(a)=9a+1/a-6(1/2＜a≤1)
g(a)=a+1/a-2(1/3≤a＜1/2)
g(a)=4-8a(0＜a＜1/3)
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