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求大学常微分方程中有关解的存在唯一性定理的证明
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求大学常微分方程中有关解的存在唯一性定理的证明

刘天羽回答:
  常微分方程解析理论-正文复域上的常微分方程理论;应用复变函数论研究微分方程的性状,以及把微分方程的解视为由方程定义的解析函数,并直接从微分方程本身研究解的性质的理论.这是基于A.-L.柯西的基本定理,即在对微分方程作极为广泛的假设下,它的积分是复变数的解析函数.常微分方程解析理论与复变函数理论的发展密切相关.它的先驱性工作是由柯西、(G.F.)B.黎曼、I.L.富克斯、(J.-)H.庞加莱以及P.班勒卫等人所作.   解的存在性和惟一性定理微分方程理论中最基本的问题是已给的方程是否有解,早先的数学家们力图通过已知初等函数的有限组合来表示微分方程的解,但在这个观念下大多数微分方程不可积.这实际上是要求方程的大范围通解,是不合适的,因为典型的分析运算与极限过程只要求局部的观点.另一方面,在物理和力学中的问题常是只要求适合某些补充条件的特解.于是柯西提出考虑如下的问题:方程   (1)的右端?(z,w)在(z0,w0)点的某个邻域内解析,问是否存在z的解析函数w(z;z0,w0),它在w0点的邻域满足方程(1),并且满足初值条件w(z0;z0,w0)=w0.他证明了在上述假设下,解是存在且惟一.这个定理称为柯西存在性定理.在复域中通常应用幂级数展开式给出惟一的形式解,然后用与某个已知的收敛幂级数相比较的方法(优函数方法)给出形式解的收敛性证明,从而完成存在性和惟一性定理的证明.   奇点柯西存在性定理所证明的微分方程的解是局部的.即给出了一个解析函数元素,应用外尔斯特拉斯的解析开拓(见常微分方程初值问题)的方法,从z0点的邻域沿一途径Г开拓这个函数元素,如果方程(1)的右端也能沿Γ开拓,则解的开拓元素也满足方程.如果沿着所有可能的途径进行开拓,则得到的所有函数元素构成的集合在大范围定义了一个单值的或多值的函数.现在重要的问题是在解的整个存在区域上来研究它,而解的存在区域和解的性质是由它的奇点所决定的,这里奇点是指柯西存在性定理不成立的那些点.因此需要研究所考虑的方程的解的奇点的位置和性质.   微分方程的解出现的奇点较解析函数论中的情况要复杂得多.首先当自变量围绕某些点转一圈以后,函数从一个值变为另一个值,称这些点为分支点.代数函数可能具有的奇点称为代数奇点.非代数奇点的分类基于不定区的概念,函数?在z0点的不定区是指以z0为中心的小圆在?映射下的像集合当圆半径趋于0时的极根集合.若点z0的不定区由一点组成,则称z0为超越奇点,否则称为本性奇点.富克斯还对微分方程解的奇点提出一种重要的区分,即分为固定奇点和流动奇点.前一种由微分方程本身给出其位置和性质,与方程的个别解无关,也即与通解中所含的任意常数无关.后者则依赖于柯西问题的初始值,也就是依赖于特解的选择,它与任意常数一起变动.例如方程的解以整数和无穷远点为固定奇点(极点);和分别有解为和此时с分别是流动代数分支点,流动对数分支点和流动本性奇点.   班勒卫曾证明如下的定理(称班勒卫定理):若z0是方程(1)的解的奇点,则(z0,w0)不是方程右端?(z,w)的全纯点.   这个定理首次确定解的奇点和方程奇点的关系,同时还说明在方程右端?(z,w)的全纯点处除了全纯解之外,不存在非全纯的解.当方程右端是w的有理函数时,班勒曾卫列举可能出现奇点的种种情况.此外,如果?(z,w)=P(z,w)/Q(z,w),(z0,w0)是P(z,w)和Q(z,w)的全纯点,但P(z0,w0)=Q(z0,z0)=0,这种不确定的情形下,即使在P(z,w)和Q(z,w)是z和w的线性函数的情形,其解在z0点的邻域的性质也相当复杂.   一般地,当对方程的性状加上某些限制以后,也带给解的奇点某些限制,例如线性微分方程的解无流动奇点.1887年班勒卫曾证明,未知函数及其导数代数地出现于方程,而系数是z的解析函数的一阶代数微分方程,它的解无流动超越奇点和流动本性奇点.   反过来,如果对解的奇点作某些限制时,微分方程也要适合某些条件,例如其解无任何奇点的方程必为一个重要的结论是:如果方程(1)的右端是w的有理函数,其解无流动代数分支点,则方程(1)必化为如下的黎卡提方程   (2)线性常微分方程一类很重要的常微分方程,未知函数的最高阶导数是较低阶导数的线性函数,一般可写成   如果右端恒为零,则称为齐次线性微分方程.如果知道了齐次方程的通解,则能通过参数变动法(或称常数变易法,见初等常微分方程)得到非齐次方程的解.因此线性方程的中心问题是研究齐次方程,而n阶齐次线性方程的通解能由n个线性独立的特解线性地表示出来.这个基本性质大大简化了对线性方程的研究.此外,在力学和电路理论中有关振动问题常化归为二阶线性方程,纯粹数学中的许多完美思想也是从这类方程的研究中产生,而且常常能展现出n阶线性方程的许多性质.所以大量的工作是关于二阶线性方程的.它的一般形式可写成   (3)已知线性方程的解只有固定奇点,即解w(z)在一点的性质依赖于方程系数p(z)和q(z)在该点的性质.许多物理问题引起的微分方程都有奇点,因而对适应这种物理情况的解有较详细的讨论.在奇点领域,方程(3)的解能有如下表示式:设w1(z)和w2(z)是奇点z0邻域的两个线性独立解,当围绕z0转一周时,它们接受一个线性变换,即令λ1和λ2是A=的特征根,则当λ1≠λ2时,(3)的解能写为   当λ1=λ2时,则为   式中ck(k=0,1,2)是常数,uk(z)(k=1,2,3)是在z0点邻域的洛朗级数.这个表示式的作用在于将解的单值解析部分和多值解析部分明显地表示出来.另一方面在大多数物理问题中,奇异性比较“弱”,出现较弱奇异性的点称为正则奇点,其定义如下:若在z0点,uk(z)(k=1,2,3)只有极点,则称z0为正则的;若uk(z)中至少有一个以z0为本性奇点,则称z0是非正则的.   下述几个特殊的二阶线性方程在实际应用和理论中都很重要.   富克斯方程它是奇点全为正则奇点的方程.由于z0为正则奇点的充分必要条件是(z-z0)p(z)和(z-z0)2q(z)在z0点领域全纯,因此富克斯方程可写为   (4)它也是具有正则奇点的仅有的方程,其中p1(z)、q1(z)在αk点全纯;并称   imgsrc=image/67-7.gifalign=absmiddle>(5)为在αk点的指标方程,其中,.方程(5)的根称为指标数,记为且有著名的富克斯关系式这里αn+1=.如果奇点的个数<4且都位于有限平面内,则方程能由奇点的位置和相应的指标数完全确定.特别是当n=3时即导出超几何方程.对这个方程的研究有着悠久的历史,许多杰出的数学家如L.欧拉、C.F.高斯、E.E.库默尔和黎曼等人都有重要的贡献.这类方程在很多情形中出现,它与共形映射、差分方程、连分数和自守函数都有关系;且其理论具有形式上的高度完美性,今设αk(k=1,2,3)为奇点,()为相应的指标数,则方程可写
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