四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱SC的中点E在底面内的射影恰好是正方形ABCD的中心O，顶点A在截面SBD内的射影恰好是ΔSBD的重心G．(1)求直线SO与底面ABCD所成角的正切值；(2)设AB=a，求此四
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问题描述：
四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱SC的中点E在底面内的射影恰好是正方形ABCD的中心O，顶点A在截面SBD内的射影恰好是ΔSBD的重心G．
(1)求直线SO与底面ABCD所成角的正切值；
(2)设AB=a，求此四棱锥过点C，D，G的截面面积．
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秦品乐回答：
【分析】(1)根据中位线可知SA∥EO，则SA⊥面ABCD，从而∠SOA是SO与面ABCD所成角，连接DG并延长交SB于F．根据线面垂直的判定定理可知SB⊥面FAD，则DF⊥SB，同理可得SO⊥BD，BG⊥SD，从而ΔSBD是等边三角形，求出直线SO与底面ABCD所成角的正切值即可；
(2)根据中位线定理可知CD∥AB，根据线面平行的判定定理可知CD∥面SAB，而过CDG的平面交面SAB与FH，则四边形CDHF是直角梯形，求出DH，即可求出四边形CDHF的面积．
(1)∵O、E分别是AC、SC的中点，
∴SA∥EO.
∵EO⊥面ABCD，
∴SA⊥面ABCD，
∴∠SOA是SO与面ABCD所成角，
∴SA，AB，AD两两相互垂直，连接DG并延长交SB于F．
∵SO是ΔSBD的中线，
∴G点在SO上.
∵AD⊥面SAB，AG⊥面SDB
∴AD⊥SB，AG⊥SB
∴SB⊥面FAD，
∴DF⊥SB.
同理可得SO⊥BD，BG⊥SD
∴G是ΔSBD的垂心，
∴ΔSBD是等边三角形，
∴SA=AB=AD，
∴tan∠SOA=；
(2)∵G是ΔSBD的重心，F是SB的中点，
∵CD∥AB，
∴CD∥面SAB.
∵过CDG的平面交面SAB与FH，
∴CD⊥面SAD，
∴四边形CDHF是直角梯形，
梯形的高DH==a
∴S梯形CDHF=
【点评】本题主要考查了直线与平面所成角，以及截面图形面积的度量，同时考查论证推理能，计算与空间想象能力，属于中档题．
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