【求双曲线的离心率已知原点为o,过双曲线x的平方比a的平方减去Y的平方比b的平方等于1的右焦点F作两条渐近线的垂线FA,FB,垂足分别为A,B,若在四边形OAFB内随机撒细沙,落在三角形AFB内的概率为】
3人问答
问题描述：
求双曲线的离心率
已知原点为o,过双曲线x的平方比a的平方减去Y的平方比b的平方等于1的右焦点F作两条渐近线的垂线FA,FB,垂足分别为A,B,若在四边形OAFB内随机撒细沙,落在三角形AFB内的概率为三分之一,则双曲线的离心率为?
刘志芳回答：
由F(c,0)向渐近线y=bx/a作垂线,垂足为A,垂线方程为y=-(a/b)(x-c),联立,得bx/a=-(a/b)(x-c)b²x=-a²x+a²c,(a²+b²)x=a²c,c²x=a²c,x=a²/c,即A的横坐标为a²/c,从而A...
沈晓燕回答：
额。。。焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长，这个怎么理解的，应该是到两条渐近线的距离都等于虚半轴的长吗？我是不是理解错了？那要是相等的话，好像概率就不是三分之一了吧，我觉得应该是二分之一。。。好吧，我很虚心向你请教。。。好吧，我不知道你刚才有没有收到我的追问，我发现我题目看错了，不好意思。。。那如果是我说的那个用虚半轴的长来做，怎么做?抱歉，我有点话多
刘志芳回答：
用面积法。就是用两种方法求四边形OAFB的面积。由于|FA|=|FB|=b，又|OF|=c，所以|OA|=|OB|=a所以四边形OAFB的面积为S=ab，另外，设AB与x轴的交点为D，设|AD|=|BD|=h则四边形OAFB的面积为S=ch，从而ab=ch，h=ab/c所以|DF|²=b²-h²=b²-a²b²/c²=(b²c²-a²b²)/c²=b⁴/c²|DF|=b²/c从而三角形FAB的面积S1=|DF|•h=(b²/c)•(ab/c)=ab³/c²由条件ab³/c²=(1/3)ab，即b²=(1/3)c²，所以a²=c²-b²=(2/3)c²，e=c/a=√6/2刚打错了一个字母。
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