求一道数学平行四边形难题.
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问题描述：
求一道数学平行四边形难题.
刘敏文回答：
25.一四边形ABCD,∠A=∠C,AB=CD.
（1）当∠A=∠C=90º时,证明四边形ABCD是矩形.
（2）当∠A=∠C＜90º时,判断是否平行四边形,若是,请写出证明；若不是,则画出图像,保留作图痕迹.
（3）当∠A=∠C＞90º时,判断是否平行四边形,若是,请写出证明；若不是,则画出图像,保留作图痕迹.
(1)△ABD和△CDB都是直角三角形,而已知：AB=CD,BD=DB,所以DA^2=BD^2-AB^2=DB^2-CD^2=BC^2即DA=BC,又AB=CD,所以,四边形ABCD是平行四边形,又∠A=∠C=90º所以四边形ABCD是矩形.
(2)不一定是平行四边形.
由于没有工具,电脑上画有点烦,描述一下即可.
是平行四边形的情况太简单了,举个特例.两个等边三角形组合一起成一个菱形.
不是平行四边形的情况：先画一个等边三角形记为△A‘BD,延长DA',在延长线上取点A,使得DA'=A'A；延长A'B,在延长线上取点C,使得A'B=BC；四边形ABCD满足∠A=∠C,AB=CD,∠A=∠C＜90º,但不是平行四边形.
注：用圆规画等边三角形,先画一段直线AB,分别取A,B为圆心,AB长为半径画圆,相交于点C,则△ABC为等边三角形.关于不是平行四边形情况下画出来的四边形ABCD满足的三个条件的证明：
显然△AA'B和△DBC是等腰三角形,很容易得出△AA'B和△DBC全等（边角边）所以AB=CD,∠A=∠C=60/2=30度.
(3)是平行四边形.
△ABD以AD为底,B为顶点,做高BA',则△ABA'为直角三角形.
△CBD以BC为底,D为顶点,做高DC',则△CDC'为直角三角形.
由于∠A=∠C,所以有∠A‘AB=∠C'CD,又AB=CD,则△ABA'和△CDC'全等.因此A'B=C'D.
根据(1)的结论得出四边形A'BC'D为矩形,那么有A'D//BC'即AD//BC,又∠A=∠C,所以得出四边形ABCD是平行四边形.(一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形)
说明：(2)可能是凹四边形,因此不能用(3)的证明来证明它是平行四边形,只因为这样做会出现A'B和C'D相交,就不能用(1)的结论来得到矩形了.而(3)一定是凸四边形,不会出现这种情况.
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