（2009•义乌）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如|小学数学问答-字典翻译问答网

（2009•义乌）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如

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问题描述：

（2009•义乌）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．

（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

（2）若某函数是反比例函数y=（k＞0），他的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；

（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标______，写出符合题意的其中一条抛物线解析式______，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数______．

刘红冰回答：

网友采纳

　　此题较为新颖，特别要注意审题和分析题意，耐心把题读完，知A、B为坐标轴上两点，C、D为函数图象上的两点：（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长，注意思维的严密性．　　（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标从而求解．　　（3）注意思维的严密性，抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论．　　【解析】　　（1）如图1，　　当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，　　∵OC=0D=1，　　∴正方形ABCD的边长CD=；∠OCD=∠ODC=45°，　　当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，　　设小正方形的边长为a，　　易得CL=小正方形的边长=DK=LK，故3a=CD=．　　解得a=，所以小正方形边长为，　　∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为或；　　（2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，　　易知△ADE≌△BAO≌△CBF 　　此时，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2-m，　　∴OF=BF+OB=2，　　∴C点坐标为（2-m，2），　　∴2m=2（2-m），解得m=1．　　反比例函数的解析式为y=．　　（3）【解析】　　实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合　　1、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=-x2+；　　2、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点D坐标为（3，4）时：不存在，　　3、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时：不存在　　4、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（-1，3），对应的函数的解析式是y=x2+；　　5、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（7，-3）时，对应的函数解析式是y=-；　　6、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（-4，7）时，对应的抛物线为y=x2+；　　∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，　　∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．