中哪些方面应用到集合论的知识了?
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问题描述：
中哪些方面应用到集合论的知识了?
陈伟基回答：
这个问题不太准确,不能说现代数学中哪些方面应用到集合论的知识,而实际上现代数学的绝大部分就是建立在集合论的基础之上的,没有集合论就没有现代数学.
不过现代数学中的确有些领域与集合论的关系更紧密一些,有些领域与集合论的关系不那么紧密.所谓紧密,就是说集合论公理对这个领域中的一些重要问题起着至关重要的作用.
一般拓扑学就是这样的领域之一.举个例子,一般拓扑学中有个重要的“正规Moore空间猜想”：是否每个正规Moore空间都可度量化?这个问题的解决极大地依赖了集合论假设.Fleissner证明了,在可构造性公理V=L下,局部紧的正规Moore空间是可度量化的,而在连续统假设CH或是马丁公理下,可以给出不可度量的正规Moore空间的例子.因此这个猜想是独立于ZFC的.实际上在某些大基数假设下这个猜想是成立的.
这样的例子举不胜举.实际上在拓扑学,代数,泛函分析,调和分析,组合论等领域中,越来越多的核心问题被证明是独立于ZFC系统的,而要解决它们则须要依靠更强的集合论假设,例如决定性公理AD,马丁公理MA,大基数公理,等等.
但在微分方程,微分几何等领域中这样的问题还所知甚少,大多数问题都能在ZFC内能够得到解决.不过以后这些学科会不会朝着更依赖于集合论假设的方向发展还很难说.
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