【N*为全体正整数的集合,是否存在一一映射φ:N*N*满足条件：对一切k∈N*,都有k|(φ(1)+φ(2)+……+φ(k))证明你的结论.注:映射φ:A→B称为一一映射,如果对任意bB,有且只有一个aA使得φ(a)=b.】
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问题描述：
N*为全体正整数的集合,是否存在一一映射φ:N*N*满足条件：对一切k∈N*,都有k|(φ(1)+φ(2)+……+φ(k))
证明你的结论.
注:映射φ:A→B称为一一映射,如果对任意bB,有且只有一个aA使得φ(a)=b.题中“|”为整除符号.
吉立新回答：
解存在.对n归纳定义φ(2n－1)及φ(2n)如下：
令φ(1)=1,φ(2)=3.设已定义出不同的正整数值φ(k)(1≤k≤2n)满足整除条件且包含1,2,…,n,设v=minN*{φ(1),…,φ(2n)},由于2n+1与2n+2互素,根据孙子定理,存在不同于v及φ(k)(1≤k≤2n)的正整数u满足同余式组
U≡－S2n(mod2n+1)≡－S2n－v(mod2n+2).
定义φ(2n+1)=u,φ(2n+2)=v.则正整数φ(k)(1≤k≤2n+2)也互不相同,满足整除条件,且包含1,2,…,n+1.根据数学归纳法原理,已经得到符合要求的一一映射.
φ：N*→N*.
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