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【这是一个很著名的故事:阿基米德与国王下棋,国王输了,国王问阿基米德要什么奖赏?阿基米德对国王说:“我只要在棋盘上第一格放一粒米,第二格放二粒,第三格放四粒,第四格放八】
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问题描述:

这是一个很著名的故事:阿基米德与国王下棋,国王输了,国王问阿基米德要什么奖赏?阿基米德对国王说:“我只要在棋盘上第一格放一粒米,第二格放二粒,第三格放四粒,第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行.”国王以为要不了多少粮食,就随口答应了,结果国王输了.

(1)我们知道,国际象棋共有64个格子,则在第64格中应放多少米?(用幂表示)

(2)请探究第(1)中的数的末位数字是多少?(简要写出探究过程.)

(3)你知道国王输给了阿基米德多少粒米吗?为解决这个问题,我们先来看下面的解题过程:

用分数表示无限循环小数:0.•2.

解:设0.•2①.等式两边同时乘以10,得10x=2.•2②.

将②-①得:9x=2,则x=29.∴0.•2=29

请参照以上解法求出国王输给阿基米德的米粒数(用幂的形式表示)

宫清先回答:
  (1)第64个格子,应该底数是2,指数63,所以为263;   (2)∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32…   ∵63÷4=15…3,   ∴263的末位数字与23的末位数字相同,是8;   (3)设x=1+2+22+…+263①.   等式两边同时乘以2,得2x=2+22+23+…+264②   ②-①,得x=264-1.   答:国王输给阿基米德的米粒数为264-1.
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