在三角形ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,已知面积S=a的平方－(b－c)的平方,且b＋c=8.求：（1）cosA的值；（2）面积S的最大值.
1人问答
问题描述：
在三角形ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,已知面积S=a的平方－(b－c)的平方,且b＋c=8.
求：（1）cosA的值；
（2）面积S的最大值.
李坚回答：
（1）
S＝a²－(b－c)²
＝a²－(b²＋c²－2bc)
＝a²－b²－c²＋2bc
而S＝(1/2)×bcsinA
∴a²－b²－c²＋2bc＝(1/2)×bcsinA
∴b²＋c²－a²＝2bc－(1/2)×bcsinA
（很微妙,上式的左边是不是与cosA有关?）
cosA＝(b²＋c²－a²)/2bc
＝2bc－(1/2)×bcsinA/2bc
＝1－(1/4)×sinA
上式两边平方,得：
cos²A＝1＋(1/16)sin²A－(1/2)sinA
而cos²A＝1－sin²A
∴1＋(1/16)sin²A－(1/2)sinA＝1－sin²A
∴(17/16)sin²A－(1/2)sinA＝0
∴sinA＝0（舍）或sinA＝8/17
∴由cos²A＝1－sin²A得：
cosA＝±15/17
而由cosA＝1－(1/4)×sinA知cosA＞0
∴cosA＝15/17
（2）
S＝(1/2)×bcsinA
＝(1/2)×sinA×bc
＝(4/17)×bc
欲求面积S的最大值,只需求bc的最大值.
由(b＋c)²≥4bc知:
bc≤(b＋c)²/4＝8²/4＝16
∴S＝(4/17)×bc≤(4/17)×16＝64/17
即：面积S的最大值为64/17.
祝您学习顺利!
其它推荐
其它推荐
最新更新
精品分类
优秀其它推荐
热门其它
邮箱： 