证明当X>0时X/(1+X~2)
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问题描述：
证明当X>0时X/(1+X~2)
关彭龄回答：
证明当x＞0时x/(1+x²)＜arctanx＜x
如图,在单位圆中容易看出：当0＜x＜π/2时,
S(△OAC)＜S(扇形OAC)＜S(△OAB).
于是,1/2*sinx＜1/2*x＜1/2*tanx.
所以,sinx＜x＜tanx.
根据题目的条件知,x＞0,又根据反正切函数的定义有
0＜arctanx＜π/2.
arctanx＜tan(arctanx)=x,即arctanx＜x.
又因x＞0,所以x/(1+x²)＜x/x²=x,根据反正切函数y=arctanx
的图像与y=x图像比较可知,x＜arctanx.因此有：x/(1+x²)＜arctanx.
综上所述有：x/(1+x²)＜arctanx＜x.
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