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【(2014•镇江模拟)小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:(1)如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点E为DC边的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,求证:S四边形ABCD=S】
1人问答
问题描述:

(2014•镇江模拟)小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:

(1)如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点E为DC边的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,求证:S四边形ABCD=S△ABF(S表示面积)

(2)如图2:在已知锐角∠AOB内有一个定点P.过点P任意作一条直线MN,分别交射线OA、OB于点M、N.小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现,△MON的面积存在最小值,请问当直线MN在什么位置时,△MON的面积最小,并说明理由.

(3)利用(2)的结论解决下列问题:

我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.(如图3)若O是△ABC的重心,连结AO并延长交BC于D,则AOAD=23,这样面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质解决以下问题.

若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图4),S四边形BCHG,S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究S四边形BCHGS△AGH的最大值.

胡天培回答:
  证明:(1)∵AD∥BC,   ∴∠DAE=∠F,∠D=∠FCE.   ∵点E为DC边的中点,   ∴DE=CE.   ∵在△ADE和△FCE中,   ∠DAE=∠F∠D=∠FCEDE=CE
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