【计算三重积分∫∫∫（有一个v在∫∫∫下方）xdxdydz,其中v是由x+y+z=2和三个坐标平面围成的四面体.感激不尽啊!】
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问题描述：
计算三重积分∫∫∫（有一个v在∫∫∫下方）xdxdydz,其中v是由x+y+z=2和三个坐标平面围成的四面体.
感激不尽啊!
李德远回答：
取Ω：x+y+z≤2,(x,y,z)≥0
∫∫∫Ωxdxdydz
=∫(0,2)xdx∫(0,2-x)dy∫(0,2-x-y)dz
=∫(0,2)xdx∫(0,2-x)(2-x-y)dy
=∫(0,2)x(2y-xy-y²/2)：(0,2-x)dx
=∫(0,2)x[2(2-x)-x(2-x)-(1/2)(2-x)²]dx
=∫(0,2)x[(4-2x)-(2x-x²)-(2-2x+x²/2)]dx
=∫(0,2)x(x²/2-2x+2)dx
=∫(0,2)(x³/2-2x²+2x)dx
=(1/2*x⁴/4-2*x³/3+x²)：(0,2)
=1/2*1/4*16-2/3*8+4
=2/3
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