【已知fn(x)=(1+2x)(1+2^2x)(1+2^3x)……(1+2^nx)设fn(x)展开式中,x、x^2的系数分别为an和bn①求an②证明b(n+1)=bn+2^(n+1)an③是否存在实数a、b,使bn=8[2^(n-1)-1](2^na+b)对一切n(n≥2且n∈N)恒成立?】
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问题描述：
已知fn(x)=(1+2x)(1+2^2x)(1+2^3x)……(1+2^nx)设fn(x)展开式中,x、x^2的系数分别为an和bn①求an②证明b(n+1)=bn+2^(n+1)an③是否存在实数a、b,使bn=8[2^(n-1)-1](2^na+b)对一切n(n≥2且n∈N)恒成立?
沈静波回答：
1.一次项系数为:an=2+4+8.+2^n=2^(n+1)-2
2.分析：fn+1(x)比fn(x)多了一个相乘项1+2^(n+1)x
如果这一项选择的是1,那么2次项系数为bn
如果这一项选择的是2^(n+1)x,前n项之积选择比是一次项系数An
故有b（n+1)=bn+[2^(n+1)]an
3.由2知b（n+1)-bn=[2^(n+1)]an
有bn-b(n-1)=4^n-2^(n+1)
b(n-1)-b(n-2)=4^(n-1)-2^n
...
b2-b1=4^2-2^3（b1=0)
累加有bn=（4^2+4^3+...+4^n)-(2^3+2^4+...+2^(n+1))
=16/3*(4^(n-1)-1)-8*(2^(n-1)-1)=8[2^(n-1)-1](2^n*2/3-1/3)（1）
要使bn=8[2^(n-1)-1](2^na+b)对一切n(n≥2且n∈N)恒成立,对照（1）式,可得：
a=2/3,b=-1/3
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