如图,在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,CD‖BA,点P是BC上一点,连结AP,过点P做PE⊥AP交C,探究PA与PE的数量关系.PE⊥AP交CD于E
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问题描述：
如图,在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,CD‖BA,点P是BC上一点,连结AP,过点P做PE⊥AP交C,探究PA与PE的数量关系.
PE⊥AP交CD于E
陆霄晔回答：
结论：PA=PE
证明：过点P作PM⊥AC,垂足为M,
过点P作PN⊥CD,垂足为N.
∵AB=AC(已知)
∴∠B=∠ACB(等边对等角)
∵CD‖BA(已知)
∴∠B=∠BCN(两直线平行,内错角相等)
∴∠ACB=∠BCN（等量代换）
又∵PM⊥AC,PN⊥CD（已作）
∴PM=PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵在△ABC中,∠BAC+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和180°）
且∠BAC=90°（已知）,∠B=∠ACB（已证）
∴∠B=∠ACB=45°
又∵∠B=∠BCN（已证）
∴∠BCN=45°（等量代换）
∵PM⊥AC,PN⊥CD（已作）
∴∠CMP=90°,∠CNP=90°（垂直定义）
∵△CMP中,∠CMP+∠ACB+∠MPC=180°（三角形内角和180°）
且∠CMP=90°,∠ACB=45°（已证）
∴∠MPC=180°-∠CMP-∠ACB
=180°-90°-45°
=45°
∵△CNP中,∠CNP+∠BCN+∠NPC=180°（三角形内角和180°）
且∠CNP=90°,∠ACN=45°（已证）
∴∠NPC=180°-∠CNP-∠ACN
=180°-90°-45°
=45°
∴∠MPC+∠NPC=45°+45°=90°
即∠MPN=90°
∵PE⊥AB（已知）
∴∠APE=90°（垂直定义）
∴∠MPN=∠APE
∴∠MPN-∠MPE=∠APE-∠MPE（等量减等量,差相等）
即∠APM=∠EPN
∵PM⊥AC,PN⊥CD（已作）
∴∠AMP=∠ENP(垂直定义）
在△APM和△EPN中
∠APM=∠EPN（已证）
PM=PN（已证）
∠AMP=∠PNE（已证）
∴△APM≌△EPN（ASA）
∴AP=AE（全等三角形的对应边相等）
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