为什么圆锥体积是圆柱体积的1/3?要数学方法不要实验!要数学证法!
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问题描述：
为什么圆锥体积是圆柱体积的1/3?要数学方法
不要实验!
要数学证法!
蔡敏智回答：
设圆锥的底面半径是R，高是H
以圆锥顶点为原点，以圆锥的中心线为x轴建立坐标系
则距离原点x处的截面半径是xR/H
圆锥的体积可用积分表示为
S=∫(0,H)π(xR/H)²dx，积分范围是(0,H)
=∫(0,H)πx²R²/H²dx
=[πx³R²/(3H²)](0,H)
=[πH³R³/(3H²)]-[π×0×R²/(3H²)]
=πR²H/3
即圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的3分之1
初中的话可以用类似于微积分的方法证明。
设圆锥高为h，底部半径为r，把圆锥等分为k份，每份看做一个小圆柱。
则第n份圆柱的高为h/k,半径为n*r/k。
则第k份圆柱的体积为h/k*pi*(n*r/k)^2=Pi*h*r^2*n^2/k^3
总的体积为Pi*h*r^2*(1+2^2+3^2+...+k^2)/k^3
而1+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
则总体积为Pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
K越大，这个总体积越接近于圆锥的体积。
当K为无穷大时，则1/k等于0。即总体积为Pi*h*r^2/3,即为圆柱体积的三分之一。
唐国洪回答：
连接坐标原点O及P（h，r）的直线，直线x=h及x轴围成一个直角三角形。将它绕x轴旋转一周构成一个底半径为r，高为h的圆椎体。则过原点O及点P（h，r）的直线方程为y=r*x/h
取横坐标x为积分变量，他的变化区间为〔0，h〕，圆锥体中相应于〔0，h〕上任一小区间〔x，x+dx〕的薄片的体积近似于底半径为rx/h，高为dx的扁圆柱体的体积，即体积元素dV=π〔rx/h〕*〔rx/h〕dx
于是圆锥体体积为r*r*h/3
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