已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(2cosβ,2sinβ).已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(2cosβ,2sinβ),且直线2xcosα-2ysinα+1=0与圆(x-cosβ)^2+(y+sinβ)^2=1相切,则向量a与b的夹角为__________.
3人问答
问题描述：
已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(2cosβ,2sinβ).
已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(2cosβ,2sinβ),且直线2xcosα-2ysinα+1=0与圆(x-cosβ)^2+(y+sinβ)^2=1相切,则向量a与b的夹角为__________.
李鼎培回答：
2xcosα-2ysinα+1=0与圆(x-cosβ)^2+(y+sinβ)^2=1相切,
可得圆心（cosβ,-sinβ）到直线距离等于半径
即|2cosβcosa+2sinβsina+1|/√[(2cosα)²+(2sinaα)²]=1
|2cos（a-β）+1|/2=1
|2cos（a-β）+1|=2
cos（a-β）=1/2或-3/2(舍去)
即cos（a-β）=1/2
a-β=60°
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