【对任何自然数,x^n-nx+(n-1)能被(x-1)^2整除,用数学归纳法证明这个命题】
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问题描述：
对任何自然数,x^n-nx+(n-1)能被(x-1)^2整除,用数学归纳法证明这个命题
刘方回答：
记f(n)=x^n-nx+n-1,
n=1时,f(1)=x-x=0显然能被(x-1)^2整除.
设n=k时,f(k)能被(x-1)^2整除,则当n=k+1时
f(k+1)-f(k)=x^(k+1)-x^k-x+1=x^k(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^k-1)=(x-1)^2*[1+x+...+x^(k-1)]
所以f(k+1)-f(k)能被(x-1)^2整除,再由归纳假设有f(k)能被(x-1)^2整除,所以f(k+1)能被(x-1)^2整除.
所以对任意自然数n,f(n)=x^n-nx+n-1能被(x-1)^2整除.
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