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已知:三角形ABC中,AB=AC,AD是BC边上中线,AB的垂直平分线交AD与点O,角B的平分线交AD于点I.求证;OA=OB=OC,I到BC,CA,AB的距离相等
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问题描述:

已知:三角形ABC中,AB=AC,AD是BC边上中线,AB的垂直平分线交AD与点O,角B的平分线交AD于点I.求证;OA=OB=OC,I到BC,CA,AB的距离相等

权永春回答:
  (1)连接OB、OC   在△AOB和△AOC中,   ∵AB=AC(等腰△)   ∠BAO=∠OAC(等腰△三线合一)   AO为公共边   ∴△AOB≌△AOC(SAS)   ∴0B=OC   在△AOE和△BOE中,(E为AB边上的垂直平分点)   ∵AE=EB(垂直平分线)   ∠AEO=∠BEO   OE为公共边   ∴△AOE≌△BOE(SAS)   ∴OA=OB   又∵0B=OC(已证)   ∴OA=OB=OC   (2)过I做AB、AC边上的垂线分别交其于P、Q点   在△PAI和△AIQ中,   ∵∠API=∠AQI=90°   ∠PAI=∠QAI(等腰△三线合一)   AI为公共边   ∴△PAI≌△AIQ(AAS)   ∴PI=QI   在△PBI和△BID中,   ∠BPI=∠IDB=90°   ∠PBI=∠IBD(BI为角平分线)   BI为公共边   ∴△PBI≌△BID   ∴PI=ID   又∵PI=QI   ∴PI=QI=DI
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