【y=（x^2+5）/根号下（x^2+4）,求值域.我想知道为什么不能用均值不等式求最值.根号下（x^2+4）与根号下（x^2+4)分之一不是同号么?为什么不能去等号?】
1人问答
问题描述：
y=（x^2+5）/根号下（x^2+4）,求值域.我想知道为什么不能用均值不等式求最值.
根号下（x^2+4）与根号下（x^2+4)分之一不是同号么?为什么不能去等号?
沈克回答：
y=（x^2+5)/√(x^2+4）
=[(x^2+4)+1]/√(x^2+4)
=√(x^2+4)+1/√(x^2+4)
用均值不等式求最值要满足3个条件
1º正：各项为正
2º定：求和最值需乘积为定值
求乘积最值需和为定值
3º等：所涉及的两项（a,b)相等能成立
1º√(x^2+4)>0,1/√(x^2+4)>0符合
2º√(x^2+4)×1/√(x^2+4)=1,符合
3º若√(x^2+4)=1/√(x^2+4)
则x^2+4=1==>x^2=-3
∵x∈R,x^2=-3不成立
∴√(x^2+4)与1/√(x^2+4)不能相等
∴本题不能用均值不等式求最值
应该设√(x^2+4)=t≥2
y=t+1/t,在[2,+∞)上递增
t=2时,y取得最小值5/2
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