给定椭圆：，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足．（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；（Ⅱ）
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给定椭圆： ，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足． |
郭万泉回答：
给定椭圆： ，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足．（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；（Ⅱ）过点P作直线,使得直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为．求出的值．（Ⅰ）（Ⅱ）
（1）中据椭圆定义及伴椭圆定义容易求出方程；（2）线与椭圆只有一个交点即直线与椭圆相切，，截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，利用直线与圆弦心距，点到直线距离公式，表示出弦长（Ⅰ）由题意得：得，半焦距．．．．2分则椭圆的方程为“伴随圆”的方程为（Ⅱ）设过点，且与椭圆有一个交点的直线为，则 整理得．．．．．．．．．2分所以，解①．．．．．．．．4分又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，则有 化简得 ② ．．．．6分联立①②解得，，所以
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