如图,在正方形ABCD中,对角线ACBD交于点O,CE平分∠ACD,分别交AD、BD于E、G,EF//AC交CD于F,连接OE.下列结论①EF=AE;②∠AOE=∠AEO;③OG=1/2AE;④AB=(√2+1)DG.其中正确的有_.
1人问答
问题描述：
如图,在正方形ABCD中,对角线ACBD交于点O,CE平分∠ACD,分别交AD、BD于E、G,EF//AC交CD于F,连接OE.下列结论①EF=AE;②∠AOE=∠AEO;③OG=1/2AE;④AB=(√2+1)DG.其中正确的有_.
汤浩钧回答：
解:过点E作EH⊥AC于点H.则∠EDF=∠EHA=90ˆ.∵∠ECD=∠ECA∴DE=HE正方形ABCD中,∠DCA=∠DAC=45ˆ.∵EF//AC∴∠DFE=∠DCA=∠DAC∴△DFE≅△HAE∴EF=AE故①正确.∵AC>DC∴DE≠AE∵CO=AO∴OE和DC不平行∴AE=EF≠CO=AO∴∠AOE≠∠AEO故②不正确.设AB=m,DE=n,则HE=n,由题意得1/2m2=1/2mn+1/2√2mn∵m≠0∴m=(√2+1)n即AB=(√2+1)DE∵AC⊥BD∴∠DOC=90ˆ∴∠ECA+∠COG=90ˆ∵∠EDF=90ˆ∴∠ECA+∠COG=90ˆ∴∠ECD+∠GED=90ˆ∴∠CGO=∠GED∵∠CGO=∠DGE∴∠DGE=∠GED∴DG=DE∴AB=(√2+1)DG故④正确.∴DE=DG=AB/√2+1=(√2-1)m∵OD=1/2√m2+m2=√2/2m∴OG=OD-DG=√2/2m-(√2-1)m=√2/2m-√2m+m=2-√2/2mAE=m-(√2-1)m=m-√2m+m=(2-√2)m∴OG=1/2AE故③正确.故答案为:①③④
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