焦点在x轴上的椭圆,离心率3的平方根/3,过左焦点的直线交椭圆与M,N两点,且2向量MF=5向量FN,求MN的斜率
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问题描述：
焦点在x轴上的椭圆,离心率3的平方根/3,过左焦点的直线交椭圆与M,N两点,且2向量MF=5向量FN,求MN的斜率
贺志回答：
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),左焦点为F.
|MF|＝5m,则|FN|＝2m,|MN|＝7m,
设直线l是椭圆的左准线,e是椭圆的离心率,e=√3/3.
作MM1⊥l于A1,作NN1⊥l于B1,NA⊥MM1于A,
根据椭圆的第二定义,则|MM1|＝5m/e,|N1N|＝2m/e,
∴|AM|＝|MM1|-|N1N|=3m/e,
所以cos∠MFx=cos∠NMA
=|AM|/|MN|=(3m/e)/(7m)
=3/(7e)
=3√3/7
从而tan∠MFx=√66/9.
∴MN的斜率为√66/9.
李保存回答：
焦点在x轴上的椭圆，离心率为根号3/3,过左焦点的直线交椭圆与M,N两点，且2被向量MF=5被向量FN，求MN的斜率。若AB是经过椭圆中心且平行于MN的弦。证明|AB|是|MN|和椭圆长轴2a的等比中项。
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