如果学过内积和度量矩阵,可以比较简单的证明这一点. 　　考虑实数域R上的n维线性空间R[x]_n,即由关于x的次数小于n的实系数一元多项式构成的线性空间. 　　对f,g∈R[x]_n,定义(f,g)=∫{0,1}f(x)g(x)dx. 　　不难验证(·,·)是双线性的,此外(f,f)=∫{0,1}f(x)²dx≥0,且等号成立当且仅当f=0. 　　因此(·,·)是R[x]_n上的一个内积. 　　R[x]_n有一组基1,x,x²,...,x^(n-1),考虑上述内积在这组基下的度量矩阵A=(a_ij). 　　有a_ij=(x^(i-1),x^(j-1))=∫{0,1}x^(i-1)·x^(j-1)dx=∫{0,1}x^(i+j-2)dx=1/(i+j-1). 　　因此A就是n阶Hilbert矩阵. 　　而内积的度量矩阵总是正定矩阵,因此也是可逆的,即得Hilbert矩阵可逆. 　　其实数学归纳法也是可行的,但是有一定技巧性,以n=4为例: 　　1/11/21/31/4 　　1/21/31/41/5 　　1/31/41/51/6 　　1/41/51/61/7 　　依次从第1行减去第2行,第2行减去第3行,第3行减去第4行,反复利用1/m-1/n=(n-m)/(mn)得: 　　1/(1·2)1/(2·3)1/(3·4)1/(4·5) 　　1/(2·3)1/(3·4)1/(4·5)1/(5·6) 　　1/(3·4)1/(4·5)1/(5·6)1/(6·7) 　　1/41/51/61/7 　　再依次从第1行减去第2行,第2行减去第3行,得: 　　2/(1·2·3)2/(2·3·4)2/(3·4·5)2/(4·5·6) 　　2/(2·3·4)2/(3·4·5)2/(4·5·6)2/(5·6·7) 　　1/(3·4)1/(4·5)1/(5·6)1/(6·7) 　　1/41/51/61/7 　　然后从第1行减去第2行,得: 　　2·3/(1·2·3·4)2·3/(2·3·4·5)2·3/(3·4·5·6)2·3/(4·5·6·7) 　　2/(2·3·4)2/(3·4·5)2/(4·5·6)2/(5·6·7) 　　1/(3·4)1/(4·5)1/(5·6)1/(6·7) 　　1/41/51/61/7 　　分别从第1,2,3行依次提出因子3!,2!,1!得(行列式提出因子1!·2!·3!): 　　1/(1·2·3·4)1/(2·3·4·5)1/(3·4·5·6)1/(4·5·6·7) 　　1/(2·3·4)1/(3·4·5)1/(4·5·6)1/(5·6·7) 　　1/(3·4)1/(4·5)1/(5·6)1/(6·7) 　　1/41/51/61/7 　　分别从第1,2,3,4列依次提出因子1/4,1/5,1/6,1/7得(行列式提出因子3!/7!): 　　1/(1·2·3)1/(2·3·4)1/(3·4·5)1/(4·5·6) 　　1/(2·3)1/(3·4)1/(4·5)1/(5·6) 　　1/31/41/51/6 　　1111 　　依次从第1列减去第2列,第2列减去第3列,第3列减去第4列,得: 　　3/(1·2·3·4)3/(2·3·4·5)3/(3·4·5·6)1/(4·5·6) 　　2/(2·3·4)2/(3·4·5)2/(4·5·6)1/(5·6) 　　1/(3·4)1/(4·5)1/(5·6)1/6 　　0001 　　按第4行展开得: 　　3/(1·2·3·4)3/(2·3·4·5)3/(3·4·5·6) 　　2/(2·3·4)2/(3·4·5)2/(4·5·6) 　　1/(3·4)1/(4·5)1/(5·6) 　　分别从第1,2,3列提出因子1/4,1/5,1/6,从1,2行提出因子3,2得(行列式提出因子3!·3!/6!): 　　1/(1·2·3)1/(2·3·4)1/(3·4·5) 　　1/(2·3)1/(3·4)1/(4·5) 　　1/31/41/5 　　分别将第1,2行乘以因子2!,1!得(行列式提出因子1/(1!·2!)): 　　2/(1·2·3)2/(2·3·4)2/(3·4·5) 　　1/(2·3)1/(3·4)1/(4·5) 　　1/31/41/5 　　将第1行加上第2行,得: 　　1/(1·2)1/(2·3)1/(3·4) 　　1/(2·3)1/(3·4)1/(4·5) 　　1/31/41/5 　　依次将第2行加上第3行,第1行加上第2行,得: 　　1/11/21/3 　　1/21/31/4 　　1/31/41/5 　　即得n=3的Hilbert矩阵. 　　于是det(H_4)=det(H_3)·(3!)^4/(6!·7!). 　　对一般的n,上述过程同样适用,det(H_n)=det(H_(n-1))·((n-1)!)^4/((2n-2)!·(2n-1)!).