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【已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)^2+(y+2)^2=r^2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平】
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问题描述:

已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)^2+(y+2)^2=r^2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.

(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由.

桂竹成回答:
  P(1,1)关于直线x+y+2的对称点易求得为P'(-3,3),依题意得P'在圆M上,   可求得r^2=2   故根据对称,可求得圆C的方程为x^2+y^2=2.   设两直线的倾斜角分别为a和b,k1=tana;k2=tanb   因为a+b=180°,由正切的性质,k1+k2=0   不妨设第一条直线斜率是k   即PA:y=kx+1-k   则PB:y=-kx+k+1   让两直线分别于圆联立:   PA与圆相联立:   x^2+(kx+1-k)^2=2   化简得:(k^2+1)x^2+(2k-2k^2)x+k^2-2k-1=0   因式分解得:(x-1)[(k^2+1)x-(k^2-2k-1)]=0   所以A的横坐标为(k^2-2k-1)/(k^2+1)   代入PA直线,解得A的坐标为((k^2-2k-1)/(k^2+1),-(k^2+2k)/(k^2+1))   同理联立PB与圆,解出B的坐标   B((k^2+2k-1)/(k^2+1),(-k^2+2k+1)/(k^2+1))   求AB的斜率Kab=(yb-ya)/(xb-xa)=...=1=Kop   所以OP‖AB
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