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已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)和双曲线x2/m2-y2/n2=1(m,n>0)有公共焦点F1,F2,P是一交点求证:角F1PF2=2arctan(n/b)三角形F1PF2面积=bn
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问题描述:

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)和双曲线x2/m2-y2/n2=1(m,n>0)有公共焦点F1,F2,P是一交点求证:角F1PF2=2arctan(n/b)三角形F1PF2面积=bn

郭纯洁回答:
  不妨设P点在双曲线右支,则由椭圆及双曲线定义得:   |PF1|+|PF2|=2a①,|PF1|-|PF2|=2m②,   由①②得:|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,   又a²-b²=m²+n²=c²,   ∴cos∠F1PF2=(|PF1|²+|PF2|²-|F1F2|²)/2|PF1|·lPF2l   =[(a+m)²+(a-m)²-(2c)²]/2(a+m)(a-m)   =[(a²-c²)+(m²-c²)]/(a²-m²)   =(b²-n²)/(b²+n²),sin∠F1PF2=2bn/(b²+n²),   ∴tan½∠F1PF2=(1-cos∠F1PF2)/sin∠F1PF=n/b,   ∴∠F1PF2=2arctan(n/b),   ΔF1PF2面积=½lPF1l·lPF2l·sin∠F1PF2   =½(a+m)(a-m)·2bn/(b²+n²)   =bn(a²-m²)/(a²-m²)=bn.
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《已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)和双曲线x2/m2-y2/n2=1(m,n>0)有公共焦点F1,F2,P是一交点求证:角F1PF2=2arctan(n/b)三角形F1PF2面积=bn|小学数学问答-字典翻译问答网》
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