原题是:已知F1、F2分别是双曲线C1:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点,且F2是抛物线C2:y^2=2px(p>0)的焦点,双曲线C1与抛物线C2的一个公共点是P。若线段PF1的中垂线恰好经过点F2,双曲线C1的离心率。
结论:1+√2
理由:F1(-c,0),F2(c,0)
过P作抛物线准线x=-c的垂线,垂足Q。
则|PQ|=|PF2|,PQ//F1F2,QF1⊥F1F2
由线段PF1的中垂线恰好经过点F2
有|PF2|=|F1F2|
可得四边形F1F2PQ是正方形。
|PF1|=b^2/a=|F1F2|=2c
b^2=c^2-a^2=2ac
e^2-2e-1=0(e>1)
解得e=1+√2
所以双曲线C1的离心率e=1+√2
(题中你将“线段PF1的中垂线恰好经过点F2”误为“线段PF1的中垂线恰好经过点P”,已更正)
希望能帮到你!
这步怎么得到的?|PF1|=b^2/a=|F1F2|=2c。