一道高中数学线面的证明题平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10.1在△ABO内是否存在一点M使FM⊥平面BOE,若存在,请找出点M,并求出点M到OA,OB
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问题描述：
一道高中数学线面的证明题
平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10.
1在△ABO内是否存在一点M使FM⊥平面BOE,若存在,请找出点M,并求出点M到OA,OB的距离；若不存在,请说明理由?
兴许里边有没用的条件,
高桥茂回答：
我的思路是先把坐标轴建起了,再通过坐标向量建立函数关系计算M点位置
做起来有点长
证明：
∵△ABC为等腰直角三角形且O为AC中点
∴OB⊥AC
∵PA=PC=10
∴△PAC为等腰三角形且O为AC中点
∴OP⊥AC
∵面PAC⊥面ABC且AC为交线
∴OP⊥面ABC
∴OP,OB,AC两两垂直
以O为原点建立空间直角坐标系
OC为X轴,OP为Y轴,OB为Z轴
∵PO⊥AC
∴△POC与△POA为直角三角形
又∵E,F分别为PA与PC中点
∴有E(-4,6,0)F(4,6,0)
设向量MF⊥面BOEM(X,0,Z)
即,向量MF(4-X,6,-Z)⊥向量OE(-4,6,0)
向量MF(4-X,6,-Z)⊥向量OB(0,0,8√2)
∴向量MF×向量OE=(4-X)×(-4)+6×6+0=0
向量MF×向量OB=0+0+(-Z)×8√2=0
即有X=-5Z=0M(-5,0,0)
∴点M到OA距离为0到OB距离为|X|=5
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