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求y''+y=xsinx的通解希望给出详细过程.
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问题描述:

求y''+y=xsinx的通解希望给出详细过程.

贾海涛回答:
  ∵齐次方程y"+y=0的特征方程是r^2+1=0,则r=±i(复数根)   ∴此齐次方程的通解是y=C1cosx+C2sinx(C1,C2是常数)   ∵设原方程的解为y=(Ax^2+Bx)cosx+(Cx^2+Dx)sinx   代入原方程,化简得   (2A+2D+4Cx)cosx+(2B+2C-4Ax)sinx=xsinx   ==>2A+2D=0,4C=0,2B+2C=0,-4A=1   ==>A=-1/4,B=C=0,D=1/4   ∴y=x(sinx-xcosx)/4是原方程的一个特解   故原方程的通解是y=C1cosx+C2sinx+x(sinx-xcosx)/4.
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