已知抛物线C:y^2=2px(p>0),若抛物线C上存在两点关于直线L:x+y=1对称,求实数p的范围
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问题描述：
已知抛物线C:y^2=2px(p>0),若抛物线C上存在两点关于直线L:x+y=1对称,求实数p的范围
陆文凯回答：
抛物线C上存在两点（y0²/2p,y0）和（y1²/2p,y1）,
通过它们的直线的斜率K=(y1-y0)/(y1²/2p-y0²/2p)=2p/(y0+y1),
中点为（（y0²/2p+y1²/2p）/2,(y0+y1)/2）=((y0²+y1²)/4p,(y0+y1)/2),
则它们的垂直平分线的方程为
y=-(y0+y1)/2p[x-(y0²+y1²)/4p]+(y0+y1)/2
=-(y0+y1)/2px+(y0+y1)(y0²+y1²)/8p²+(y0+y1)/2
令该直线为x+y=1即y=-x+1,
则(y0+y1)/2p=1,①
(y0+y1)(y0²+y1²)/8p²+(y0+y1)/2=1,②
由①得y0+y1=2p,③
代人②得y0²+y1²=4p-4p^2≥(y0+y1)²/2=2p²,
即p（3p-2）≤0,
得0＜p≤2/3.
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