求二重积分∫∫（1-（x^2+y^2））dxdy,其中D为x^2+y^2
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问题描述：
求二重积分∫∫（1-（x^2+y^2））dxdy,其中D为x^2+y^2
欧阳中辉回答：
欧阳中辉回答：
θ区域对称，将π分开2半∫(0→π/2)sin⁴xdx=3!!/4!!*π/2=(3*1)/(4*2)*π/2A(n)=∫sinⁿxdx=∫sinⁿ⁻¹xd(-cosx)，下限0上限π/2=-cosxsinⁿ⁻¹x+∫cosx(n-1)sinⁿ⁻²xcosxdx=(n-1)∫sinⁿ⁻²x(1-sin²x)dx=(n-1)A(n-2)-(n-1)AnA(n)=(n-1)A(n-2)A(n)=(n-1)/n*A(n-2)=(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*A(n-4)=(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*(n-5)/(n-4)*A(n-6)=...当n为奇数时A(n)=[(n-1)(n-3)(n-5)...4*2]/[n(n-2)(n-4)...3*1]=(n-1)!!/n!!当n为偶数时A(n)=[(n-1)(n-3)(n-5)...3*1]/[n(n-2)(n-4)...4*2]*π/2=(n-1)!!/n!!*π/2
欧阳中辉回答：
没看见区间的变化吗？
原本是0到π的，后来变成两倍的0到π/2
因为1 - (x² + y²)关于y轴对称，所以区间可变为两倍，省去不少麻烦的
∫∫(D) [1 - (x² + y²)] dxdy
= ∫∫(D) dxdy + ∫∫(D) (x² + y²) dxdy
∫∫(D) dxdy就是D的面积，当然关于y轴对称
而∫∫(D) (x² + y²) dxdy，被积函数x² + y²是关于y轴对称
所以对称是基于D的范围
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