【已知函数f（x）=．（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与X轴平行，求函数f（x）的单调区间；（II）若对一切正数x，都有f（x）≤-1恒成立，求a的取值集合．】
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问题描述：
已知函数f（x）=．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与X轴平行，求函数f（x）的单调区间；
（II）若对一切正数x，都有f（x）≤-1恒成立，求a的取值集合．
黄水源回答：
（Ⅰ）∵f′（x）=-1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=-1，
依题意-1=0，解得a=1，
∴f（x）=lnx-x，f′（x）=-1，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x） 单调递减；
所以函数f（x）的单调增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
（Ⅱ）若a＜0，因为此时对一切x∈（0，1），都有＞0，x-1＜0，所以＞x-1，与题意矛盾，
又a≠0，故a＞0，由f′（x）=-1，令f′（x）=0，得x=．
当0＜x＜时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＞时，f′（x）＜0，函数f（x） 单调递减；
所以f（x）在x=处取得最大值-，
故对∀x∈R+，f（x）≤-1恒成立，当且仅当对∀a∈R+，-≤-1恒成立．
令=t，g（t）=tlnt-t，t＞0．则g′（t）=lnt，
当0＜t＜1时，g′（t）＜0，函数g（t）单调递减；当t＞1时，g′（t）＞0，函数g（t）单调递增；
所以g（t）在t=1处取得最小值-1，
因此，当且仅当=1，即a=1时，-≤-1成立．
故a的取值集合为{1}．
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