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数学分析中函数单调性问题设函数f在开区间(a,b)上定义,且对每一个点x∈(a,b)存在邻域U(x),使得f在U(x)上单调增加,证明:f在(a,b)上单调增加.
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问题描述:

数学分析中函数单调性问题

设函数f在开区间(a,b)上定义,且对每一个点x∈(a,b)存在邻域U(x),使得f在U(x)上单调增加,证明:f在(a,b)上单调增加.

陈贵荣回答:
  证明:   设s,t是开区间(a,b)内的任意两点,且设s<t,下面我们来证明f(s)<f(t)   由已知,闭区间[s,t]中的所有点的邻域覆盖了闭区间[s,t],   而有限覆盖定理告诉我们,从这无穷个邻域中可选出有个,它们就已经覆盖了这个闭区间[s,t]   设这有限个邻域分别为:   U(s),U(r1),U(r2),…,U(rn),U(t)   又设x1∈U(s)∩U(r1),x2∈U(r1)∩U(r2),…,x(n+1)∈U(rn)∩U(t)   则可以看出任何两个相邻的,比xm,x(m+1)都必同属于一个相同的邻域U(rm)   上式中的m满足,1≤m≤n   从而由已知,可得   f(s)<f(x1)<f(x2)<…<f(x(n+1))<f(t)   这就证明了f(s)<f(t)   证完.
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