感兴趣的做一下```一质点质量为m,初速度为V,受阻力作用,阻力和速度的比值是k,求质点运动多长距离后停止,质点除受阻力外,不受其他力作用~``
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问题描述：
感兴趣的做一下```
一质点质量为m,初速度为V,受阻力作用,阻力和速度的比值是k,求质点运动多长距离后停止,质点除受阻力外,不受其他力作用~``
李劲宇回答：
用初等数学的方法――微元法：
设某一时刻质点速度为v,在过了一个极短时间之后速度变为v-Δv,这段时间内质点的位移为Δs,则根据动能定理,质点的动能损失等于在Δs上摩擦力做的功：
(1/2)mv^2-1/2m(v-Δv)^2＝k[(v+v-Δv)/2]Δs
上式右边(v+v-Δv)/2表示质点在Δs位移中的平均速度,与k相乘是平均阻力
该式化简得
mvΔv-mvΔv^2＝kvΔs-kΔvΔs/2
舍去二阶小量Δv^2、ΔvΔs,得到
mvΔv=kvΔs,即
Δs＝(m/k)Δv
Δv是每一小段路上速度的减少量,对整个运动过程中的Δv求和,其结果就是初速度(V)与最终速度(0)的差
而Δs是每一小段路的长度,对整个运动过程中的Δs求和,其结果就是总的运动距离s
所以,对上式求和得到∑Δs＝(m/k)∑Δv
即s=mV/k
需要解微分方程,呵呵
由牛顿第二定律建立方程：
mv'=-kv
通解为v=u*exp(-kt/m)
初始条件：v(0)=V,故u=V
即v=V*exp(-kt/m)
也就是说,质点速度以指数形式衰减,但理论上永远不会降到0
对时间t在(0,无穷大)积分,得最终运动距离为
s=V*m/k
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