数学题高二上复习参考题；已知a,b,c是不全相等的正数,求证2（a^3+b^+c^3)＞a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
1人问答
问题描述：
数学题高二上复习参考题；已知a,b,c是不全相等的正数,求证2（a^3+b^+c^3)＞a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
钱小军回答：
最简单地方法：
利用均值不等式
a^3+a^3+b^3>=3a^2b,a^3+a^3+c^3>=3a^2c,相加得4a^3+b^3+c^3>=3a^2(b+c).同理可得4b^3+a^3+c^3>=3b^2(a+c).4c^3+b^3+a^3>=3c^2(b+a).
以上三式相加,再约去3就行了
方法2.先证明：a^3+b^3>=a^2b+ab^2
因为：
(a^3+b^3)-(a^2b+ab^2)
=a^2*(a-b)-b^2*(a-b)
=(a^2-b^2)(a-b)
=(a+b)(a-b)^2
>=0
所以：a^3+b^3>=a^2b+ab^2
（取等号的条件是a=b）
同理：
a^3+b^3>=a^2b+ab^2
a^3+c^3>=a^2c+ac^2
b^3+c^3>=b^2c+bc^2
三式相加,得：
2(a3+b3+c3)>=a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)
取等号的条件是a=b=c
但题目中,a、b、c不全相等,所以：
2(a3+b3+c3)>a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)
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