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【在一节数学实践课上,老师出示了这样一道题,如图1,在锐角三角形ABC中,∠A、∠B、∠C所对边分别是a、b、c,请用a、c、∠B表示b2.经过同学们的思考后,甲同学说:要将锐角三角形转化】
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问题描述:

在一节数学实践课上,老师出示了这样一道题,如图1,在锐角三角形ABC中,∠A、∠B、∠C所对边分别是a、b、c,请用a、c、∠B表示b2.

经过同学们的思考后,

甲同学说:要将锐角三角形转化为直角三角形来解决,并且不能破坏∠B,因此可以经过点A,作AD⊥BC于点D,如图2,大家认同;

乙同学说要想得到b2要在Rt△ABD或Rt△ACD中解决;

丙同学说那就要先求出AD=___,BD=___;(用含c,∠B的三角函数表示)

丁同学顺着他们的思路,求出b2=AD2+DC2=___(其中sin2α+cos2α=1);请利用丁同学的结论解决如下问题:

如图3,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠BAD=60°,AB=4,AD=5.

求AC的长(补全图形,直接写出结果即可).

倪南回答:
  ∵sinB=ADAB,cosB=BDAB,∴AD=AB•sinB=c•sinB,BD=AB•cosB=c•cosB,CD=BC-BD=a-c•cosB,则出b2=AD2+DC2═(c•sinB)2+(a-c•cosB)2=c2sin2B+a2+c2cos2B+2ac•cosB=c2(sin2B+cos2B)+a2-2ac•cosB=a2+c2-2a...
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