△ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：（1）（a+b+c）（a+b-c）=3ab（2）sinA=2cosBsinC（3）b=acosC，c=acosB（4）2R(sin2A−sin2C)＝(2a−b)sinB有两个结论
1人问答
问题描述：
△ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：
（1）（a+b+c）（a+b-c）=3ab
（2）sinA=2cosBsinC
（3）b=acosC，c=acosB
（4）2R(sin2A−sin2C)＝(2a−b)sinB
有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．
请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题（1）（2）→甲或（2）（4）→乙或（3）（4）→乙（1）（2）→甲或（2）（4）→乙或（3）（4）→乙．
孙春凤回答：
由（1）（2）为条件，甲为结论，得到的命题为真命题，理由如下：
证明：由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，变形得：
a2+b2+2ab-c2=3ab，即a2+b2-c2=ab，
则cosC=a2+b2−c22ab=12，又C为三角形的内角，
∴C=60°，
又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，
即sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∵-π＜B-C＜π，
∴B-C=0，即B=C，
则A=B=C=60°，
∴△ABC是等边三角形；
以（2）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：
证明：化简得：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，
即sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∵-π＜B-C＜π，
∴B-C=0，即B=C，
∴b=c，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R得：
sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R，
代入2R(sin2A−sin2C)＝(2a−b)sinB得：
2R•（a24R2-120）=（2a-b）•b2R，
整理得：a2-b2=2ab-b2，即a2=2ab，
∴a=2b，
∴a2=2b2，又b2+c2=2b2，
∴a2=b2+c2，
∴∠A=90°，
则三角形为等腰直角三角形；
以（3）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：
证明：由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R得：
sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R，
代入2R(sin2A−sin2C)＝(2a−b)sinB得：
2R•（a24R2-120）=（2a-b）•b2R，
整理得：a2-b2=2ab-b2，即a2=2ab，
∴a=2b，
∴a2=2b2，又b2+c2=2b2，
∴a2=b2+c2，
∴∠A=90°，
又b=acosC，c=acosB，
根据正弦定理得：sinB=sinAcosC，sinC=sinAcosB，
∴bsinB0=bsinB1，即sinBcosB=sinCcosC，
∴sin2B=sin2C，又B和C都为三角形的内角，
∴2B=2C，即B=C，
则三角形为等腰直角三角形．
故答案为：（1）（2）→甲或（2）（4）→乙或（3）（4）→乙
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