【椭圆的方程椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点坐标为(1,0),且长轴长是短轴长的√2倍..设O为坐标原点,椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A,B,线段AB的中点为P,若直线OP的斜率为-1,求△OAB的面】
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问题描述：
椭圆的方程
椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点坐标为(1,0),且长轴长是短轴长的√2倍..
设O为坐标原点,椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A,B,线段AB的中点为P,若直线OP的斜率为-1,求△OAB的面积
李文珍回答：
a=√2b,则：
c^2=a^2-b^2=2b^2-b^2=1,
所以b^2=1,a^2=2.
故椭圆C：x^2/2+y^2=1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),在椭圆C：x^2/2+y^2=1上,则：
x1^2/2+y1^2=1,x2^2/2+y2^2=1,
相减得：
(x1^2-x2^2)/2+(y1^2-y2^2)=0.（1）
又A(x1,y1),B(x2,y2),在直线：y=kx+1上,则：
(y1-y2)/(x1-x2)=k.（2）
AB的中点P的坐标为：((x1+x2)/2,(y1+y2)/2),
直线OP的斜率为-1,即
[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=(y1+y2)/(x1+x2)=-1.（3）
(2),(3)两式相乘,得：
(y1^2-y2^2)=-k(x1^2-x2^2),
代入(1),得：
(1/2-k)(x1^2-x2^2)=0.
因为A,B是两个不同的点,故x1不=x2,
所以k=1/2.
直线：y=1/2*x+1,代入椭圆C：x^2/2+y^2=1,得：
3/4*x^2+x=0,
x=0,x=-4/3,
所以y=1,y=1/3,
故A(0,1),B(-4/3,1/3).
所以S△OAB=1/2*|OA|*|xB|=1/2*1*4/3=2/3.
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