求由y=x^3,x=2,y=0所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转一周得到的旋转体积?
9人问答
问题描述：
求由y=x^3,x=2,y=0所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转一周得到的旋转体积?
杜庆伟回答：
首先要画出图形,确定出围成的封闭图形.显然为一个曲边三角形.绕x轴旋转：V=∫(0,2)π(x^3)^2dx=π∫(0,2)(x^6)dx=π×1/7×(x^7)|(0,2)=π×1/7×(2^7-0^7)=128π/7（体积单位）绕y轴旋转：V=∫(0,8)π(y^1/3)^2dy=...
杜庆伟回答：
A=∫(0,1)[√(4y)-√y]dy=∫(0,1)√ydy=2/3*y^(3/2)|(0,1)=2/3绕y轴旋转所产生的旋转体体积V=∫(0,1)[π*(4y-y)]dy=3/2*πy^2|(0,1)=3π/2
杜庆伟回答：
不用死记公式，要明白其中的道理，自然啥都不怕。求体积时，首先要弄明白旋转出来的图形是啥样的。比如绕x轴旋转时，其中心对称的对称轴是x轴，那么就用垂直于x轴的一系列平面来截这个图形，肯定会得到一个圆环（或圆）。要是圆环的话是有内半径和外半径的，设内半径为y1=f1(x)，外半径为y2=f2(x)，则该圆环的面积为π[f2(x)^2-f1(x)^2]，那么考虑厚度为dx的圆环薄片，其体积自然是π[f2(x)^2-f1(x)^2]*dx，于是就有V=∫(x1,x2)π[f2(x)^2-f1(x)^2]*dx绕y轴旋转时，其中心对称的对称轴是y轴，那么就用垂直于y轴的一系列平面来截这个图形，肯定也会得到一个圆环（或圆）。设内半径为x1=f1(y)，外半径为x2=f2(y)，则该圆环的面积为π[f2(y)^2-f1(xy^2]，那么考虑厚度为dy的圆环薄片，其体积自然是π[f2(y)^2-f1(y)^2]*dy，于是就有V=∫(y1,y2)π[f2(y)^2-f1(y)^2]*dy
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