已知a>0,函数f(x)=ax-bx^2.已知a>0,函数f(x)=ax-bx^2.问1,当b>0时,若对任意x属于R都有f(x)
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问题描述：
已知a>0,函数f(x)=ax-bx^2.
已知a>0,函数f(x)=ax-bx^2.问1,当b>0时,若对任意x属于R都有f(x)
刘琳波回答：
1.证明：
根据题意可知：f(x)≤1对任意实数都成立,即-bx��+ax-1≤0恒成立
因为a＞0,b＞0,若使-bx��+ax-1≤0恒成立,则有判别式△≤0
即a��-4b≤0,也即0＜a≤2√b
所以f(x)≤1是a≤2√b的充分条件2.证：
设g(x)=bx-1/x,x∈(0,1].由于对x1,x2∈(0,1]且x10
所以g(x)单调增函数,bx-1/x的最大值是b-1.
另外,由bx+1/x≥2√b及等号成立条件是x=1/√b,由b>1知1/√b∈(0,1],因此当x=1/√b时bx+1/x取最小值2√b.
由a>0,函数f(x)=ax-bx��,当b>1时
对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1对任意x∈[0,1],|ax-bx��|≤1
对任意x∈[0,1],-1≤ax-bx��≤1
对任意x∈(0,1],bx-1/x≤a≤bx+1/xb-1≤a≤2√b.
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