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设H、K都是群G的子群,设|H|=m,|K|=n且(m,n)=1,证明:H∩K={e}.如题
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问题描述:

设H、K都是群G的子群,设|H|=m,|K|=n且(m,n)=1,证明:H∩K={e}.如题

黄建成回答:
  证明:显见{e}包含于H∩K,H∩K≠Φ.任意的a,b∈H∩K,则a,b∈H且a,b∈K,又H、K为G的子群,故a(b^-1)∈H且a(b^-1)∈K.即a(b^-1)∈H∩K,故H∩K≤H,H∩K≤K.从而由拉格朗日定理知|H∩K|整除m且|H∩K|整除n因此|H∩K|整除(m,n),又(m,n)=1,故必有|H∩K|=1,所以H∩K={e}
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