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试讨论函数f(x)=根号下1-x²在区间【﹣1,1】上的单调性.
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问题描述:

试讨论函数f(x)=根号下1-x²在区间【﹣1,1】上的单调性.

李国霞回答:
  方法一:(分析法)由x²在区间【0,1】上单调增,知:-x²在区间【0,1】上单调减,显然,1-x²在区间【0,1】上单调减,所以f(x)=根号下1-x²在区间【0,1】上单调减;   由x²在区间【-1,0】上单调减,知:-x²在区间【-1,0】上单调增,显然,1-x²在区间【-1,0】上单调增,所以f(x)=根号下1-x²在区间【-1,0】上单调增;   方法二:(作差法)在区间【﹣1,1】上任取不同的两数a,b,不妨令a0   f(a)-f(b)=√(1-a²)-√(1-b²)[分子有理化]   =[(1-a²)-(1-b²)])/[√(1-a²)+√(1-b²)]=(b+a)(b-a)/[√(1-a²)+√(1-b²)]   当a,b∈【-1,0】时,b+a0,所以f(a)-f(b)0,所以f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b),所以f(x)=根号下1-x²在区间【-1,0】上单调减;   因此,f(x)在[﹣1,0]是单调增,在[0,1]是单调减.
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